ریاضی هشتم

در کاشی‌کاری، اگر کاشی‌ها روی هم نیفتند و جای خالی هم نماند، زاویه‌های کاشی‌هایی که در یک رأس کنار هم قرار می‌گیرند، باید مجموعاً \(360^\circ\) شوند.

برای چندضلعی منتظم با \(n\) ضلع، هر زاویهٔ داخلی برابر است با:
\[\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}\]

الف) کاشی‌های پنج‌ضلعی منتظم:
زاویهٔ داخلی هر پنج‌ضلعی منتظم برابر است با:
\[\frac{(5-2)\times 180^\circ}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ\]
اگر دور یک رأس کاشی‌ها را کنار هم بگذاریم، باید داشته باشیم:
\[108^\circ \times k = 360^\circ\]
اما \(\dfrac{360}{108}\) عدد صحیح نیست؛ یعنی \(k\) نمی‌تواند عدد صحیح باشد. پس با پنج‌ضلعی‌های منتظم نمی‌توان کف را بدون جای خالی کاشی‌کاری کرد. در شکل هم بین کاشی‌ها فضاهای خالی دیده می‌شود.

ب) کاشی‌های دوازده‌ضلعی منتظم:
زاویهٔ داخلی هر دوازده‌ضلعی منتظم برابر است با:
\[\frac{(12-2)\times 180^\circ}{12}=\frac{1800^\circ}{12}=150^\circ\]
و داریم:
\[150^\circ \times k = 360^\circ\]
اما \(\dfrac{360}{150}=2/4\) عدد صحیح نیست. پس با دوازده‌ضلعی‌های منتظم هم نمی‌توان بدون جای خالی کاشی‌کاری کرد. در شکل، بین سه کاشی یک فضای مثلثی‌شکل خالی مانده است.

نتیجه: چون زاویهٔ داخلی این چندضلعی‌ها عددی است که \(360^\circ\) را بر آن نمی‌توان بخش‌پذیر کرد، کاشی‌کاری فقط با یک نوع کاشی از این دو شکل انجام نمی‌شود.