ریاضی هشتم

تعریف اصطلاحات و مثال برای هر کدام

• عددهای طبیعی: عددهایی که برای شمارش به کار می‌روند: \(1, 2, 3, \dots\)
  مثال: عدد \(7\) یک عدد طبیعی است.
• عددهای صحیح: عددهای طبیعی، صفر و قرینه‌ی عددهای طبیعی: \(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\)
  مثال: عدد \(-5\) یک عدد صحیح است، اما عدد \(\frac{1}{2}\) صحیح نیست.
• عددهای گویا: عددهایی که می‌توان آن‌ها را به صورت \(\frac{a}{b}\) نوشت، که در آن \(a\) و \(b\) عددهای صحیح هستند و \(b\neq 0\).
  مثال: \(-\frac{3}{4}\) یک عدد گویاست. عدد \(6\) هم گویاست، چون \(6=\frac{6}{1}\).
• معکوس عدد گویا: اگر عدد گویای \(\frac{a}{b}\) داده شده باشد، معکوس آن \(\frac{b}{a}\) است، به شرط آن‌که \(a\neq 0\).
  مثال: معکوس \(\frac{2}{3}\) برابر \(\frac{3}{2}\) است، چون \(\frac{2}{3}\times\frac{3}{2}=1\).

خلاصه‌ی روش‌های اصلی با یک مثال

1. محاسبه‌ی حاصل عبارت شامل عددهای صحیح با رعایت ترتیب عملیات:

\[3+(-2)\times 4-(-6)\div 3 = 3+(-8)-(-2) = 3-8+2 = -3\]
ابتدا ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق انجام می‌شود.

1. پیدا کردن راه‌حل مناسب برای محاسبه‌ی یک عبارت:

\[(-25)+37+(-15)=(-25)+(-15)+37=-40+37=-3\]
با جابه‌جا کردن جمله‌ها، محاسبه ساده‌تر می‌شود.

1. پیدا کردن عددهای گویای مساوی: صورت و مخرج را در یک عدد غیر صفر ضرب، یا بر یک عامل مشترک تقسیم می‌کنیم:

\[\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}, \qquad \frac{6}{8}=\frac{6\div 2}{8\div 2}=\frac{3}{4}\]

1. نمایش جمع و تفریق عددهای گویا روی محور: برای حاصل \(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\) از نقطه‌ی \(-\frac{1}{2}\) روی محور، \(\frac{3}{2}\) واحد به راست حرکت می‌کنیم و به عدد \(1\) می‌رسیم (شکل زیر).

\[-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1\]

1. محاسبه‌ی جمع و تفریق دو عدد گویا: مخرج‌ها را یکی می‌کنیم و صورت‌ها را جمع یا تفریق می‌کنیم:

\[\frac{2}{5}-\frac{7}{5}=\frac{2-7}{5}=-\frac{5}{5}=-1\]

1. محاسبه‌ی ضرب و تقسیم دو عدد گویا: ابتدا علامت حاصل را تعیین می‌کنیم، سپس کسرها را ضرب یا تقسیم می‌کنیم:

\[-\frac{3}{4}\times\left(-\frac{8}{15}\right)=+\frac{3\times 8}{4\times 15}=\frac{2}{5}, \qquad \left(+\frac{2}{3}\right)\div\left(-\frac{5}{7}\right)=-\frac{2}{3}\times\frac{7}{5}=-\frac{14}{15}\]

1. پیدا کردن معکوس یک عدد گویا: صورت و مخرج را جای هم می‌نویسیم:

\[-\frac{5}{3}\text{ معکوس }-\frac{3}{5}\text{ است، و معکوس }-3\text{ برابر }-\frac{1}{3}\text{ است.}\]

1. محاسبه‌ی حاصل یک عبارت شامل عددهای گویا با رعایت ترتیب عملیات:

\[\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)=0\]
ابتدا ضرب، سپس جمع انجام می‌شود.

شکل مربوط به روش چهارم (نمایش \(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\) روی محور):