ویژگی‌های هم‌نهشتی در اعداد صحیح- ویژگی 3و4

ویژگی 3

دو طرف یک رابطه هم‌نهشتی را می‌توان به توان \(n\) رساند. (\(n\in\mathbb{N}\))

\[{a\mathop{\equiv }\limits^{m}}b\Rightarrow {a^n\mathop{\equiv }\limits^{m}}b^n\]

نکته

لزوما عکس این قضیه بر قرار نیست.

مثال

\[{2\mathop{\equiv }\limits^{3}}5\Rightarrow {2^7\mathop{\equiv }\limits^{m}}5^7\]

ویژگی 4

دو طرف دو رابطه هم‌نهشتی را که پیمانه‌های یکسان داشته باشند می‌توان با هم جمع یا از هم تفریق و یا در همدیگر ضرب کرد.

\[{a\mathop{\equiv }\limits^{m}}b,{c\mathop{\equiv }\limits^{m}}d \Rightarrow\left\{\begin{matrix}{ac\mathop{\equiv }\limits^{m}}bd\\{a+c\mathop{\equiv }\limits^{m}}b+c\\{a-c\mathop{\equiv }\limits^{m}}b-d\\\end{matrix}\right.\]

مثال

\[{2\mathop{\equiv }\limits^{3}}5 , {4\mathop{\equiv }\limits^{3}}10\Rightarrow {8\mathop{\equiv }\limits^{3}}50 , {6\mathop{\equiv }\limits^{3}}15 , {-2\mathop{\equiv }\limits^{3}}-5\]

نکته

اگر باقی مانده تقسیم \(a\) بر  \(m\) مساوی با \(r\) باشد در این صورت \({a\mathop{\equiv }\limits^{m}}r\)

\[a=mq+r\Rightarrow {a\mathop{\equiv }\limits^{m}}r\]

نتیجه 1:

هر گاه بخواهیم کوچکترین عدد نامنفی و هم نهشت با عدد \(a\) به پیمانه \(m\) را مشخص کنیم، کافی است عدد \(a\) را بر \(m\) تقسیم کرده و باقی مانده تقسیم را به دست آوریم.

نتیجه 2:

اگر دو عدد \(a\) و \(b\) تقسیم بر عدد طبیعی \(m\) هم باقی مانده باشند در این صورت \({a\mathop{\equiv }\limits^{m}}b\) .