بسط اعداد

بسط عدد \(n\) رقمی \(A=\overline{a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\ldots a_2a_1a_0}\)   بدین شکل است:

\[A={10}^{n-1}a_{n-1}+{10}^{n-2}a_{n-2}+\ldots+10a_1+a_0\]

از آنجا که عدد 10 و 1 به پیمانه‌های 9 و 3 همنهشت هستند A به پیمانه‌های 9 و 3 با مجموع ارقامش هم‌نهشت است.

\[{10\mathop{\equiv }\limits^{9}}1\Rightarrow {10^{n}\mathop{\equiv }\limits^{9}}1 \Rightarrow {10^{n} a\mathop{\equiv }\limits^{9}}a \] \[{A\mathop{\equiv }\limits^{9}}{10}^{n-1}a_{n-1}+{10}^{n-2}a_{n-2}+\ldots+10a_1+a_0{\mathop{\equiv }\limits^{9}} a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots+a_1+a_0\]

و به همین شکل برای عدد ۳ نیز این قضیه اثبات می‌شود.

نتیجه

باقی مانده تقسیم هر عدد بر 9 برابر است با باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 9 

باقی مانده تقسیم هر عدد بر 3 برابر است با باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3