اثبات‌های بازگشتی/گزاره‌های هم‌ارز-1

.انواع روش استدلال و اثبات:

اثبات‌های بازگشتی- گزاره‌های هم‌ارز:

اگر ارزش دو گزاره یکسان باشد آنها را گزاره‌های هم‌ارز می‌نامیم.

اگر P و Q دو گزاره هم‌ارز باشند، آنگاه گزاره‌های \(P\Rightarrow Q \) و \(Q\Rightarrow P \) هر دو درست هستند و در نتیجه \(P\Leftrightarrow Q \) یک گزاره درست است و به عکس اگر ترکیب \(P\Leftrightarrow Q \) درست باشد آنگاه P و Q دو گزاره هم ارز خواهند بود و اگر ارزش یکی از آنها را بدانیم، ارزش دیگری نیز همان خواهد بود.

اگر Q,P و R سه گزاره باشند و \(Q\Leftrightarrow R \) و \(P\Leftrightarrow Q \) یعنی ارزش سه گزاره یکسان است و اثبات درستی و نادرستی هر یک، تکلیف دو گزاره دیگر را معلوم خواهد کرد.

بنابر این ما در روش اثبات بازگشتی به کمک گزاره‌های هم‌ارز از حکم شروع می‌کنیم و با استفاده از گزاره‌های هم ارز و فرض مسئله به گزاره ای همیشه صحیح می‌رسیم. از آنجا که گزاره‌هایمان هم ارز هستند و یک گزاره ارزش درست دارد بقیه گزاره‌ها نیز ارزش درست دارند و حکم ثابت می‌شود.

مثال:

اگر a>0 ثابت کنید \(a+\frac{1}{a}\geq2\).
\[a+\frac{1}{a}\geq2\Longleftrightarrow a^2+1\geq2a\Longleftrightarrow a^2-2a+1\geq0\Longleftrightarrow{(a-1)}^2\geq0\equiv T\]

از آنجا که گزاره‌ها هم ارز هستند حکم نیز صحیح است.