افراز مجموعه Z به کمک قضیه تقسیم-2

.افراز مجموعه \(\mathbb{Z} \) به کمک قضیه تقسیم

نکته

اگر \(p\gt 3\) عددی اول باشد، آنگاه به یکی از دو صورت\(p=6k+1\) یا \(p=6k+5\) نوشته می‌شود.

اثبات

با توجه به قضیه تقسیم عدد \(p\) به یکی از  شش دسته زیر تعلق دارد. از آنجا که \(p\) عددی اول است \(p\) برخی از این دسته‌ها نمی‌تواند تعلق بگیرد.

\[p=6k\to عدد مرکب\] \[p=6k+1\] \[p=6k+2=2q \to عدد مرکب\] \[p=6k+3=3q \to عدد مرکب\] \[p=6k+4=2q \to عدد مرکب\] \[p=6k+5\]

بنابر این \(p\)به یکی از دو دسته \(6k+1\) یا \(6k+5\) تعلق دارد.

نکته

مربع هر عدد فرد به شکل\(8t+1\) نوشته می‌شود.

اثبات

هر عدد فرد به یکی از دو فرم \(4k+1\) یا \(4k+3\) نوشته می‌شود بنابر این مربع اعداد فرد بدین فرم است.

\[(4k+1)^{2}=16k^{2}+8k+1=8(2k^{2}+k)+1=8t+1\] \[(4k+3)^{2}=16k^{2}+24k+9=8(2k^{2}+3k+1)+1=8t+1\]