اصل شمول و عدم شمول (اجتماع n مجموعه)-1

اصل شمول و عدم شمول برای n مجموعه

فرض کنید \(A_n\ و …،A_2،A_1\)، \(n\) مجموعه دلخواه و متناهی باشند در آن صورت خواهیم داشت:

\[\left| A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots \cup A_{n} \right| =\sum_{i=1}^{n} \left|A_{i} \right| -\sum_{1\le i\lt j\le n} \left| A_{i}\cap A_{j} \right|\]\[ + \sum_{1\le i\lt j\lt k\le n} \left| A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k} \right|-\cdots +(-1)^{n-1}\left| A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap  A_{n} \right|\] 
 مثال

۴راننده که هرکدام یک اتومبیل دارند دریک محل کار می‌کنند این ۴ نفر به چند طریق می توانند اتومبیل های خود را با هم عوض کنند بطوری که هیچ کدام اتومبیل های خود را نرانند؟

مجموعه‌های \(A_{1}\) تا \(A_{4}\) را اینگونه تعریف می‌کنیم که راننده \(i\) ام ماشین خود را براند. لذا ما بدنبال کل حالات بجز حالاتی هستیم که حداقل یکی از  این مجموعه‌ها اتفاق بیفتد.

\[\left| \overline{A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}} \right| = S- A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}= 4!-\binom{4}{1} \times 3!+\binom{4}{2} \times 2!-\binom{4}{3} \times 1 +\binom{4}{4} \times 1=\]\[24-24+12-4+1=9\]