هم‌نهشتی در اعداد صحیح و کاربردها-تمرین-2

نکته

برای هر \(n\in \mathbb{N}\)  و \(a,b\in \mathbb{Z}\)  همواره \({(a+b)^{n}\mathop{\equiv }\limits^{ab}}a^{n}+b^{n}\).

اثبات

بسط دو جمله ای خیام:

\[(a + b)^n =\binom{n}{0} \times a^{n}+\binom{n}{1}\times a^{n-1}\times b+\binom{n}{2}\times a^{n-2}\times b^{2}+ \cdots \binom{n}{n}\times b^{n}\]

بنابر این :

\[(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}+kab\Rightarrow (a+b)^{n}-a^{n}-b^{n}=kab\Rightarrow ab|(a+b)^{n}-a^{n}-b^{n} \Rightarrow {(a+b)^{n}\mathop{\equiv }\limits^{ab}}a^{n}+b^{n}\]