یادآوری-اصل جمع، اصل ضرب و اصل متمم-1

اصل جمع

اگر کاری را بتوان به \(k\) روش انجام داد، به طوری که در روش اول \(m_{1}\) انتخاب، در روش دوم \(m_{2}\) انتخاب، . . . و در روش \(k\)ام \(m_{k}\) انتخاب وجود داشته باشد، برای انحام کار مورد نظر \(m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{k}\) روش وجود دارد.

نکته

در مسائل از کلید واژه «یا» برای نمایش این موضوع استفاده می‌شود.

اصل ضرب:

اگر انجام کاری شامل \(k\) مرحله باشد؛ به طوری که برای انجام مرحلۀ اول \(m_{1}\) روش، برای انجام مرحلۀ دوم \(m_{2}\) روش، . . . و برای انجام مرحلۀ \(k\) ام \(m_{k}\) روش وجود داشته باشد کار مورد نظر با \(m_{1}\times m_{2}\times\cdots \times m_{k}\) روش قابل انجام است.

نکته

در مسائل از دو کلید واژۀ «هر» و «و» برای نمایش این موضوع استفاده می‌شود.

اصل متمم

اگر \(A\) یک پیشامد از فضای نمونه ای \(S\) باشد، متمم پیشامد \(A\) که با \(A^{'}\) (یا \(A^{c}\) ) نمایش داده می‌شود، وقتی رخ می‌دهد که پیشامد \(A\)رخ ندهد. وقتی که شمارش مستقیم سخت باشد یک فضای نمونه تعریف می‌کنیم که به آن کل حالات می‌گوییم و بر اساس چیزی که می‌خواهیم آن را بشماریم حالات نامطلوبی در فضای نمونه تعریف می‌شود و خواهیم داشت.

حالات مطلوب = کل حالات منهای حالات نامطلوب 

تبدیل r شیء از n شیء 

به هر انتخاب \(r\) شیء از \(n\) شیء متمایز که در آن ترتیب انتخاب اهمیت داشته باشد یک ترتیب  \(r\) تایی از  \(n\) شیء می‌گوییم. مانند تشکیل صف. تعداد ترتیب‌های \(r\) تایی از \(n\) شیء متمایز را معمولا با \(P(n,r)\)  نمایش می‌دهیم و داریم:

\[P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}  ، (0\le r\le n) \]

ترکیب r شیء از n شیء

به هر انتخاب \(r\) شیء از \(n\) شیء متمایز که در آن ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد یا به عبارتی به هر زیر مجموعۀ \(r\) عضوی از یک مجموعه \(n\)عضوی، یک ترکیب \(r\) تایی از  \(n\) شیء می‌گوییم. مانند تشکیل تیم. تعداد ترکیب‌های \(r\) تایی از \(n\) شیء متمایز را معمولا با \(C(n,r)\) یا \(\binom{n}{r}\) نمایش می‌دهیم و داریم:

\[\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}  ، (0\le r\le n)\]

نکات

تعداد جایگشت و تعداد چیدمان n شیء !n حالت دارد.

در مسائلی که از ما خواسته شده اشیای خاصی در کنار هم قرار گیرند مسئله را در دو گام حل می‌کنیم.

گام اول: ایجاد بسته ای از اشیایی که باید در کنار هم قرار گیرند و شمردن تعداد جایگشت‌ها

گام دوم:چیدن بسته و باقی اشیاء در کنار هم و بدست آوردن جواب مسئله