توان های گویا - ریاضی1

توان های کسری: اگر a یک عدد حقیقی مثبت و n یک عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی 2 باشد (\(n\in\mathbb{N}\) و \(n\ge 2\)) آنگاه توان\(\frac{1}{n}\) عدد a را به صورت زیر تعریف می کنیم: 

\[a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\]

قرارداد: توان های کسری فقط برای اعداد مثبت و غیر صفر تعریف می‌شوند. در این فصل اعداد منفی به عنوان پایه قرار نمی‌گیرند.

 مثال: \(15^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{15}\)    \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{2} = \sqrt{2}\)

توان های گویا: فرض کنیم a یک عدد مثبت و اعداد m و n صحیح باشند. به طوری که  \( \frac{m}{n} \) عددی غیر صحیح شود. داریم: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\) و همچنین \(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}\)

 و داریم: \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

مثال: \(\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^{2}}=5^{\frac{2}{3}}\)

در صورت اینکه توان دارای علامت منفی بود می‌توان گفت: 

\(a^{-1/n} = \frac{1}{a^{1/n}} \Rightarrow a^{-m/n} = \frac{1}{a^{m/n}}\)

مثال: \((16)^{(-\frac{1}{4})}=\frac{1}{(16)^{(\frac{1}{4})}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16}}=\frac{1}{2}\)

خواص توان های گویا:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

\[(a^m)^n = a^{mn}\]

a. \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) 

b. \((ab)^m = a^m \times b^m\)

ساده کردن توان های تو در تو: 

\( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = (a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}} = \sqrt[mn]{a} \)